Average Euler Characteristic of Random Real Algebraic Varieties La Caractéristique d’Euler Moyenne des Variétés Algébriques Réelles Aléatoires

We determine the expected curvature polynomial of real projective varieties given as the zero set of independent random polynomials with Gaussian distribution, which is invariant under the orthogonal group. In particular, the expected Euler characteristic of such random real projective varieties is found. This considerably extends previously known results on the number of roots, the volume, and the Euler characteristic of the real solution set of random polynomial equations. Résumé Dans cet article, nous déterminons l’espérance du polynôme de courbure d’une variété projective réelle qui est donnée comme ensemble de zéros de polynômes aléatoires, avec une distribution gaussienne qui est invariante par le groupe orthogonal. En particulier, nous explicitons la caractéristique d’Euler de telles variétés projectives réelles aléatoires. Ces résultats généralisent considérablement la connaissance du nombre de zéros, du volume, et de la caractéristique d’Euler, des ensembles de zéro des systèmes de polynômes aléatoires. Version française abrégée Soit Hd,n l’espace vectoriel des polynômes réels homogènes de degré d en les variables X0, . . . , Xn. Soit f = ∑ α fαX α0 0 · · ·Xn n ∈ Hd,n avec des coefficients fα qui sont des variables aléatoires indépendantes gaussiennes centrées avec variance ( d α ) := d! α0!···αn! . On peut montrer que la distribution de probabilité induite sur Hd,n est invariante par le groupe orthogonal O(n + 1). Nous dirons que f est distribuée selon Kostlan [7]. Considerons un système f1(x) = 0, . . . , fn(x) = 0 de tels polynômes aléatoires. Shub et Smale [14] ont montré que l’espérance du nombre de zéros dans l’espace projectif réel P est égale à √ d1 · · · dn, c’est-à-dire la racine carrée du produit des degrés des polynômes. Dans le cas où tous les polynômes ont le même degré, ce résultat a été également établi par Kostlan [7]. Email address: [email protected] (Peter Bürgisser). 1 Partially supported by DFG grant BU 1371/2-1 and Paderborn Institute for Scientific Computation. Preprint submitted to Elsevier Science 24 octobre 2007 Dans le cas sous-determiné f1(x) = 0, . . . , fs(x) = 0 (s < n), l’ensemble des zéros Z(f1, . . . , fs) est une sous-variété de l’espace projectif réel P. Comme généralisation de la cardinalité on peut prendre le volume en dimension n − s ou bien la caractéristique d’Euler. On a E vol(Z(f1, . . . , fs)) = √ d1 · · · ds vol(Pn−s) pour un système de polyômes fi distribué selon Kostlan [7]. Podkorytov [11] a défini le paramètre δ(f) := E ‖Df(x)‖ 2 nE f(x)2 d’un polynôme aléatoire avec une distribution gaussienne centrée, qui est invariante par le groupe orthogonal O(n + 1). Ici x est un point quelconque dans S etDf(x) : TxS → R est la dérivée de f interprété comme fonction f : S → R (noter que δ(f) est indépendant de x par invariance et homogénéité). Le paramètre d’un polynôme f ∈ Hd,n distribué selon Kostlan est égale au degré d. En utilisant la théorie de Morse, Podkorytov [11] a montré que l’espérance de la caractéristique d’Euler de l’hypersurface Z(f) ⊆ P peut être écrite comme Eχ(Z(f)) = In( √ δ(f))/In(1) si n est impair, où In( √ δ) := ∫√δ 0 (1−x2) 2 dx. Dans le cas où n est pair, nous remarquons que, presque sûrement, Z(f) est une variété différentielle compacte de dimension impaire ; alors sa caractéristique d’Euler est zéro. Nous étendons le résultat de Podkorytov au cas d’une codimension plus grande. Théorème 1.1 Soient f1 ∈ Hd1,n, . . . , fs ∈ Hds,n des polyômes indépendants avec une distribution gaussienne centrée qui est invariante par le groupe orthogonal. Soit δi le paramètre de fi et supposons que s ≤ n et que n− s est pair. Alors Eχ(Z(f1, . . . , fs)) = a0 + a2 + · · ·+ an−s 2 , où les aj sont les coefficients de la série de puissances suivante : ∞ ∑